外延的記法 (対の公理と和集合の公理)

ここまでで、集合論の言葉ではすべてのモノが集合であること、集合同士に $\in$ で表される関係があったりなかったりすること、モノ (集合) 同士はどういうときに『等しい・同じ』と見なすのかを説明してきた。この記事では具体的に有限集合を作り表記する方法である外延的記法について、その使い方と使える根拠を述べる。

外延的記法

外延的記法とは、モノ (集合) を記述する方法の一種であり、その集合に属するモノをすべて書き並べることで表記する。この記法の説明のために例を示す (注: このシリーズではまだ自然数を集合として定義していないので本来なら自然数を持ち出すべきではないが、説明を簡単にするために 1 などの自然数を集合として登場させる)。例えば $A$ と $B$ というモノ (集合) は

  • $A$ には1と2が属し、それ以外のモノは属さない
  • $B$ には1と2が属し、それ以外のモノは属さない
を満たすとしよう。このとき、$A$ に属しているモノはすべて $B$ に属していて、$B$ に属しているモノはすべて $A$ にも属しているので、外延性の公理より $A$ と $B$ は同じモノ (つまり $A=B$) であり区別すべきではないということになる。言い換えると、上にはあたかも $A$ と $B$ という『二つ』のモノについて書かれているように見えるが、この二つは同じものなので実は『一つ』のモノについて二回繰り返して書いてあるのである。

続けて $C$ や $D$ を増やしていっても同様で、「1と2が属し、それ以外のモノは属さない集合」を何回書いたところでそれらはみな同じモノである。すなわち「1と2が属し、それ以外のモノは属さない集合」は一つまでしか存在しないのである。そこで、この唯一のモノ (集合) のことを特別に\[\{1,2\}\]と書く。この書き方が外延的記法である。

同様に、「3が属し、それ以外のモノは属さない集合」も一つまでしかないので $\{3\}$ と書き表し、「1と2と3が属し、それ以外のモノは属さない集合」を $\{1,2,3\}$ と書き表す。このように、有限個のモノ (集合) を用意すればそれらだけが属する モノ (集合) は必ず作ることができて外延的記法で表せるのだが、実はその根拠はまだ述べていない。あくまで、「1と2だけが属する集合」というものがもし存在したらそれはただ一つしかないから {1,2} と表すとしか言っていないである。

対の公理

ということで、ここからは「1と2だけが属する集合」が私たちが使う集合論の言葉 (ZFC公理系による論理) に確かに存在することを示していく。そのために対の公理を導入する。

公理\[\forall x\;\forall y\;\exists z\;\forall w[w\in z \leftrightarrow w= x\lor w= y]\]

すなわち、いかなるモノ (集合) $x$, $y$ についても、「$x$ と $y$ だけが属する集合」が存在する。

まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。

また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では $x$ と $y$ が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。

和集合の公理

3つ以上のモノが属するモノについては対の公理だけでは存在を証明することはできない。そこで、さらに和集合の公理を導入する。

公理\[\forall x\;\exists y\;\forall z[z\in y \leftrightarrow \exists w[z\in w\land w\in x]]\]

すなわち、いかなるモノ (集合) $x$ についても、「$x$ に属するいずれかのモノ (集合) に属しているモノだけがすべて属するような集合」が存在する。

少しわかりにくいかもしれないので例を出そう。まず対の公理を使うと、2つの集合 $\{1,2\}$ と $\{3\}$ はともに存在する。この二つの集合についてさらに対の公理を使うと\[\{\{1,2\},\{3\}\}\]という「{1,2} と {3} だけが属する」集合も存在する。これについて和集合の公理を使えば「{1,2} か {3} のいずれかのモノに属しているモノ (すなわち1と2と3) だけがすべて属するような集合」である\[\{1,2,3\}\]が存在すると証明できる。このようにして対の公理と和集合の公理を使うことで3つのモノが属する集合の存在がひととおり示せる。さらに、この {1,2,3} と {4} に対して対の公理を使えば {{1,2,3},{4}} が存在することになり、これに対して和集合の公理を使えば {1,2,3,4} の存在が示される。このように対の公理と和集合の公理を繰り返し使うことで、有限個のモノが属するモノ (集合) の存在はひととおり示すことができる。

ちなみに、この理屈では無限個のモノが属する集合の存在は示せない。理由はいたって単純で、上の公理を繰り返し適用する手順で作ろうとすると、公理の適用が有限回で終了しないからである。終了しないのだから、証明できたことにはならない。したがって、たとえば「正の偶数だけがすべて属する」ようなモノ (集合) はこの方法では作れないので後の記事で紹介する方法を使う。

和集合

これで外延的記法の説明はいったん終了し、和集合の公理について掘り下げる。和集合の公理は簡単に言えばモノ $x$ をもとに作られるある集合の存在を示す公理であるが、その結果できるモノは $x$ を他のモノに変えない限りは外延性の公理より一つしかない。つまり $x$ に対して和集合の公理でできあがる集合はただ一つしか存在しないので、その集合を特別に\[\bigcup x\]と書くことにする。たとえば、上では {{1,2},{3}} に和集合の公理を適用して {1,2,3} を作ったが、これは\[\bigcup \{\{1,2\},\{3\}\} = \{1,2,3\}\]であるということになる。また、この例のように和集合を適用するモノに有限個しかモノが属していないなら $\bigcup \{\{1,2\},\{3\}\}$のことを\[\{1,2\}\cup \{3\}\]のようにモノの間に記号 $\cup$ を挟んで表してもよいことにする (この記法は高校数学で習う和集合と一致する)。この場合、できあがる $\{1,2\}\cup \{3\}$ や {1,2,3} のことを「{1,2} と {3} の和集合」と呼ぶ。

高校数学では和集合と一緒に共通部分も習うであろうが、共通部分の存在はこれまでに導入した公理だけでは証明できないので、後の記事で扱うこととする。