順序対と直積集合

前回までで自然数を用意し、外延的記法や内包的記法で基本的な集合を記述する準備が整った。ここからは、様々な集合を特別な数学的対象として扱うことを考える。そこで、まずは順序対を集合として定義する。

順序対とは

順序対を知らない者もいるであろうから、まずは順序対とはどのようなものか (どのような性質を持っているべきものか) を説明する。順序対は集合論で必ず用いられる概念で、モノ $x$, $y$ に対する順序対が\[\langle x,y\rangle\]と書き表される。順序対については\[\langle x,y\rangle =\langle z,w\rangle \Leftrightarrow x=z \land y=w\]である、つまり $x=z$ かつ $y=w$ であるなら2つの順序対 $\langle x,y\rangle$, $\langle z,w\rangle$ は同じもの ($\langle x,y\rangle =\langle z,w\rangle$) であり、そうでないなら同じでないとして扱う。

たとえば、\[\langle 1,1 \rangle =\langle 1,1\rangle\\ \langle 1,2 \rangle =\langle 1,2\rangle\]であるべきだし、自然数の定義より $1\neq 2$ であるので\[\langle 1,1 \rangle \neq\langle 1,2\rangle \\ \langle 2,1 \rangle \neq\langle 1,2\rangle \]であるべきである。特に下の式は\[\{2,1\}=\{1,2\}\]とは対照的である。集合の場合は属するモノの一致を「同じ」とみなす条件にしている (外延性の公理) ので書く順番を変えても同じモノであるのに対し、順序対は「左側」と「右側」を区別するので書く順番を変えれば別のモノになる。

順序対の定義

さて、私たちが扱う集合論の言葉では「すべてのモノは集合である」ので、(ある種の集合を自然数とよぶと決めたように) ある種の集合を順序対として定義することにする。ただし、その際は上で述べた性質を満たすように留意しなければならない。たとえば既に上で述べた内容からわかることだが $\{x,y\}$ のことを $\langle x,y \rangle$ であるとして定義してはならない。

この記事では (おそらく) 最も多くの者が用いている定義を採用する。

定義モノ $x$, $y$ に対して\[\{\{x\},\{x,y\}\}\]を順序対と呼び、$\langle x,y\rangle$ と書き表す。

つまり「2つのモノ $\{x\}$ と $\{x,y\}$ が属し、それ以外のモノが属さない集合」を $\langle x,y\rangle$ と書きあらわす。この集合は外延的記法で表せているので、先の記事で述べたようにそのような集合は存在することと一つしかないことが証明される。

そして、このように定義された順序対は先に述べた「持つべき性質」を持っている。

定理$x$, $y$, $z$, $w$ がモノであるとする。このとき\[\langle x,y\rangle =\langle z,w\rangle \leftrightarrow x=z \land y=w\]である。つまり $x=z$ かつ $y=w$ であるときは $\langle x,y\rangle =\langle z,w\rangle$ であり、そうではないときは $\langle x,y\rangle \neq\langle z,w\rangle$。

(証明) $x=z$ かつ $y=w$ であることと $\langle x,y\rangle =\langle z,w\rangle$ であることが同値であることを示す。外延性の公理より $x=z$ かつ $y=w$ と $\{x\}=\{z\}$ かつ $\{x,y\}=\{z,w\}$ は同値である (自明ではないと思うので要証明)。また外延性の公理より $\{x\}=\{z\}$ かつ $\{x,y\}=\{z,w\}$ と $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{z\},\{z,w\}\}$ も同値である (自明ではないと思うので要証明)。順序対の定義よりこれは $\langle x,y\rangle =\langle z,w\rangle$ と同値である。

順序対が属する集合 (直積集合)

今度は (部分集合の後にそれが属する冪集合に触れたように)、順序対が属する直積集合について述べる。直積集合とは次に述べる集合のことである。

定義モノ $x$, $y$ に対して「左に $x$ に属するモノが入って右に $y$ に属するモノが入る順序対がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」を $x$ と $y$ の直積もしくは直積集合と呼び $x\times y$ と書く。

たとえば、$\{1,2\}\times\{2,3,4\}$ は「左に 1 か 2 が入って右に 2 か 3 か 4 が入る順序対がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」となるので、\[\{1,2\}\times\{2,3,4\} = \{\langle 1,2\rangle,\langle 1,3\rangle,\langle 1,4\rangle,\langle 2,2\rangle,\langle 2,3\rangle,\langle 2,4\rangle\}\]である。直感的な内包的記法では\[x\times y = \{\langle z,w\rangle \mid z\in x, w\in y\}\]と書けるだろう。

ここからは直積の存在を証明する。有限個しかモノが属さない集合同士の直積であれば、やはり有限個のモノしか属さないので上記のように外延的記法で記述できるが、(冪集合のときと同様に) 無限にモノが属する集合の直積は外延的記法では記述できないので対の公理と和集合の公理では存在を証明できない。ではまた直積の存在証明のために公理を追加しなくてはならないのだろうか。実はそうではなく、これまでに導入した公理 (とくに冪集合公理と分出公理が重要) から存在を次のように証明できる。

定理$x$, $y$ をモノ (集合) とする。このとき「左に $x$ に属するモノが入って右に $y$ に属するモノが入る順序対がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」である $x\times y$ は存在する。

(証明) まず和集合の公理より $x\cup y$ は存在する。そして、冪集合の公理より $\mathfrak{P}(x\cup y)$ も存在する。ここで、直積 $x\times y$ に属するモノは順序対だから $\langle z,w\rangle$ のような形をしており、したがって $\{\{z\},\{z,w\}\}$ のような形をしている。$z$ も $w$ も $x\cup y$ に属しているので $\{z\}$ も $\{z,w\}$ も $x\cup y$ の部分集合であり $\mathfrak{P}(x\cup y)$ に属する。したがって $\mathfrak{P}(x\cup y)$ に属するモノしか属していない $\{\{z\},\{z,w\}\}$ は $\mathfrak{P}(x\cup y)$ の部分集合であり、よって $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(x\cup y))$ に属する。以上より順序対からなる集合である直積 $x\times y$ は $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(x\cup y))$ の部分集合であるので内包的記法を用いて\[x\times y = \{t\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(x\cup y)) \mid \exists z\exists w[z\in x\land w\in y\land t=\{\{z\},\{z,w\}\}]\} \]と書ける。よって分出公理より直積は存在する。

3つ以上のモノによる順序対?と直積集合

順序対の活用方法は次の記事で述べるが、まず気が付くのは中学・高校数学で扱う座標やベクトルに似ているという点であろう。たしかに実数 $x$, $y$ に対して $\langle x,y\rangle$ を座標やベクトルとしてみなす (そのように扱う) こともできる。しかし、そう考えると、3次元以上の点を表すために $\langle x,y,z\rangle$ のようなものが欲しくなるだろう (3つのモノからなるので『対 (pair)』ではなく『 (tuplet)』 と呼ぶことにする)。上ではそのようなモノについては一切言及していない。

そして、ここではそのようなものを定義することはしない。上の順序対のように $\langle x,y,z\rangle$ を定義することもできるのであろうが、そうなると4つのもの・5つのものと際限がない。そこで、ここでは順序だけに留めておき、3つ以上 (有限個でなくともよい) のモノからなる組や直積集合については次の記事で定義する『写像』を用いて『列・数列』としていずれ説明することにする。