集合論の言葉による整数の構成

ここまでで、自然数や集合論に関する諸々の概念を述べ、それらを集合として定義し、その存在を証明してきた。今回以降はこれらを使って、整数・有理数・実数を集合として定義し、集合論の言葉で使う準備を整える。

はじめに

この記事は本記事シリーズを追っている読者だけでなく、自然数集合から整数を構成する厳密な論理を知りたい者にも役立つように書く。そのため、ラフに学ぶとしているシリーズ内の他の記事と比べて命題や定理の証明が多めになっているが、余力があれば証明も追ってみたり自力で考えたりしてみても面白いだろう。

発想

整数を定義するために、まず自然数の直積集合 $\omega\times\omega$ を考える。この集合には $\langle x,y\rangle$ のような順序対が属しているが、この順序対を整数 $x-y$ として扱うことができないだろうか。たとえば $\langle 3,1\rangle$ のことは整数 2 として扱い、$\langle 4,7\rangle$ のことは整数 -3 として扱うという具合に、そしてこの2つの足し算は $\langle 3+4,1+7\rangle$ $=\langle 7,8\rangle$ のようにして -1 と見なすという具合に。

この発想で最初に問題になるのは $\langle 0,1 \rangle$ と $\langle 1,2 \rangle$ は同じ整数 -1 として扱いたいのに順序対の相等より $\langle 0,1 \rangle\neq\langle 1,2 \rangle$ であるという点である。この点については同値関係を導入して解決する。つまり「$\langle 0,1 \rangle$ と $\langle 1,2 \rangle$ は整数と見なすときには同じ」となる同値関係をうまく作るのである。このような同値関係が作れれば、$\langle 0,1 \rangle$ の同値類は「整数と見なすときには $\langle 0,1 \rangle$ と同じ順序対だけがすべて属する集合」となり、つまり「-1と見なす順序対だけがすべて属する集合」となるので、この同値類 $[\langle 0,1 \rangle]$ を改めて整数 -1 と見なせばよい。

整数と演算の定義

この発想で整数を定義したものが以下のものである。

定義$\omega\times\omega$ 上の同値関係 $R$ を\[\{\langle\langle x,y \rangle ,\langle x',y' \rangle\rangle\ \mid x+y'=y+x'\}\]とする。このときの商集合 $\omega/R$ を整数集合と呼び、$\boldsymbol{\rm Z}$ と書く。整数集合に属するモノを整数とよぶ。

整数の定義に使った $R$ について $\langle x,y \rangle R\langle x',y' \rangle$ が成立するのは $x+y'=y+x'$ となるときである。たとえば $0+2=1+1$ だから $\langle 0,1 \rangle R\langle 1,2 \rangle$ である。整数の引き算を (素朴なレベルで) 知っている立場からすると $x+y'=y+x'$ は $x-y=x'-y'$ とみることができるのでこの同値関係の作り方は最初に述べた「$x-y$ を整数と見なす」という発想に準じたものだとわかるだろう。

命題上の整数の定義に用いた二項関係 $R$ は同値関係である。

(証明) 同値関係の定義に則って示す。まず $\langle a,b\rangle R \langle a,b\rangle$ を示す。自然数の加法は可換なので $a+b=b+a$ であり、よって $\langle a,b\rangle R \langle a,b\rangle$。

次に $\langle a,b\rangle R \langle c,d\rangle$ を仮定して $\langle c,d\rangle R \langle a,b\rangle$ を導く。$\langle a,b\rangle R \langle c,d\rangle$ より $a+d=b+c$ であり、このとき $c+b=d+a$ であるから $\langle c,d\rangle R \langle a,b\rangle$。

最後に $\langle a,b\rangle R \langle c,d\rangle$,  $\langle c,d\rangle R \langle e,f\rangle$ を仮定して $\langle a,b\rangle R \langle e,f\rangle$ を導く。仮定より $a+d=b+c$, $c+f=d+e$。このとき、$a+f+c+d=b+e+c+d$ であるので 自然数の加法の単射性より $a+f=b+e$。よって $\langle a,b\rangle R \langle e,f\rangle$。

次に、自然数の演算を利用して整数の演算を定義する。

定義$\boldsymbol{\rm Z}$ 上の二項演算 $f$ を\[f([\langle x,y \rangle], [\langle x',y' \rangle])=[\langle x+x',y+y' \rangle]\]と定める。この演算を整数の加法と呼び、演算子 $+$ を用いて表す。

$\boldsymbol{\rm Z}$ 上の二項演算 $g$ を\[g([\langle x,y \rangle], [\langle x',y' \rangle])=[\langle xx'+yy',xy'+yx' \rangle]\]と定める。この演算を整数の乗法と呼び、演算子 $\cdot$ を用いて表す。紛らわしくない時は $a\cdot b$ のことを $ab$ と書いてもよいとする。

同値関係の記事でも述べたが、代表元の取り方を変えても演算結果が変わらないことを確かめなくてはならないので、確かめる。

命題上の整数の加法はよく定義されている。

(証明) $\langle a,b\rangle R\langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle R\langle c',d'\rangle$ であれば $[\langle a+c,b+d\rangle]=[\langle a'+c',b'+d'\rangle]$ であることを示す。

$\langle a,b\rangle R\langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle R\langle c',d'\rangle$ より、\[a+b'=b+a' \\ c+d'=d+c'\]である。このとき\[a+c+b'+d'=b+d+a'+c'\]であるので\[\langle a+c,b+d\rangle R \langle a'+c',b'+d'\rangle\]であり、したがって\[[\langle a+c,b+d\rangle]=[\langle a'+c',b'+d'\rangle].\]

命題上の整数の乗法はよく定義されている。

(証明) $\langle a,b\rangle R\langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle R\langle c',d'\rangle$ であれば $[\langle ac+bd, ad+bc \rangle]=[\langle a'c'+b'd', a'd'+b'c'\rangle]$ であることを示す。

$\langle a,b\rangle R\langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle R\langle c',d'\rangle$ より、\[a+b'=b+a' \\ c+d'=d+c'\]である。このとき\begin{eqnarray}(ac+bd)+(a'd+b'c) &=& (a+b')c+(b+a')d \\&=& (b+a')c+(a+b')d\\&=& (ad+bc)+(a'c+b'd)\end{eqnarray}であるので $\langle ac+bd, ad+bc \rangle R\langle a'c+b'd, a'd+b'c\rangle$。また、\begin{eqnarray}(a'c+b'd)+(a'd'+b'c') &=& a'(c+d')+b'(d+c') \\&=& a'(d+c')+b'(c+d')\\&=& (a'd+b'c)+(a'c'+b'd')\end{eqnarray}であるので $\langle a'c+b'd, a'd+b'c \rangle R\langle a'c'+b'd', a'd'+b'c'\rangle$。したがって、同値関係の推移性より\[\langle ac+bd, ad+bc \rangle R\langle a'c'+b'd', a'd'+b'c'\rangle\]であるので\[[\langle ac+bd, ad+bc \rangle]=[\langle a'c'+b'd', a'd'+b'c'\rangle].\]

整数の大小関係

演算のほかに、大小関係も整数の重要な特徴である。そのため、自然数同士の大小関係を用いて整数同士の大小関係を定義する。

定義$\boldsymbol{\rm Z}$ 上の二項関係 $T$ を\[\{\langle [\langle x,y \rangle], [\langle x',y' \rangle]\rangle \mid x+y'\leq y+x'\}\]と定める。この二項関係を整数の大小関係とよび、$aTb$ を $a\leq b$ と書く。また、$a\leq b$ と $a\neq b$ を共に満たすことを $a\lt b$ と書く。

つまり、$[\langle x,y \rangle]\leq[\langle x',y' \rangle]$ は $x+y'\leq y+x'$ であることである。代表元の取り方を変えても関係が変わらないことを確かめなくてはならないので、確かめる。

命題上の整数の大小関係はよく定義されている。

(証明) $\langle a,b\rangle R\langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle R\langle c',d'\rangle$ として $a+d\leq b+c$ ならば $a'+d'\leq b'+c'$ であることを示す。

$\langle a,b\rangle R\langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle R\langle c',d'\rangle$ より\[a+b'=b+a'\\ c+d'=d+c'\]である。自然数の加法は大小を保存するので、このとき $a+d\leq b+c$ より\begin{eqnarray}(a'+d')+(b+c) &=& (b+a')+(c+d')\\&=&(a+b')+(d+c')\\&=& (b'+c')+(a+d)\\&\lt&(b'+c')+(b+c)\end{eqnarray}であり、したがって\[a'+d'\leq b'+c'.\]

『大小関係』という名前は、この関係が全順序関係であることを期待してつけているので、全順序であることを確かめる。

命題上の整数の大小関係は全順序関係である。

(証明) 全順序関係の定義に則って示す。まず $[\langle a,b\rangle]\leq[\langle a,b\rangle]$ を示す。加法の可換性より $a+b\leq b+a$ であるので $[\langle a,b\rangle]\leq[\langle a,b\rangle]$。

次に $[\langle a,b\rangle] \leq [\langle c,d\rangle]$,  $[\langle c,d\rangle] \leq [\langle e,f\rangle]$ を仮定して $[\langle a,b\rangle] \leq [\langle e,f\rangle]$ を導く。仮定より $a+d\leq b+c$, $c+f\leq d+e$。自然数の加法は大小を保存するので、このとき、$a+f+c+d\leq b+e+c+d$ であり $a+f\leq b+e$。よって $[\langle a,b\rangle] \leq [\langle e,f\rangle]$。

次に $[\langle a,b\rangle] \leq [\langle c,d\rangle]$,  $[\langle c,d\rangle] \leq [\langle a,b\rangle]$ を仮定して $[\langle a,b\rangle] = [\langle c,d\rangle]$ を導く。仮定より $a+d\leq b+c$, $c+b\leq d+a$ であり、したがって\[a+d\leq b+c,\;\; b+c\leq a+d.\]このとき、自然数の大小関係の反対称性より $a+d=b+c$ であるから $[\langle a,b\rangle] = [\langle c,d\rangle]$。

最後にいかなる $[\langle a,b\rangle]$, $[\langle c,d\rangle]$ についても $[\langle a,b\rangle] \leq [\langle c,d\rangle]$ か  $[\langle c,d\rangle] \leq [\langle a,b\rangle]$ のいずれかが成立することを示す。自然数の大小関係の全順序性より\[a+d\leq b+c\]か\[b+c\leq a+d\]のいずれかが成立し、前者なら $[\langle a,b\rangle] \leq [\langle c,d\rangle]$ に、後者なら $[\langle c,d\rangle] \leq [\langle a,b\rangle]$ になる。

この大小関係を用いて、整数の正負を定義する。

定義$\boldsymbol{\rm Z}$ の部分集合\[\boldsymbol{\rm Z}^+=\{x\in\boldsymbol{\rm Z} \mid [\langle0,0\rangle]\lt x\}\]に属する整数はであり、$\boldsymbol{\rm Z}$ の部分集合\[\boldsymbol{\rm Z}^-=\{x\in\boldsymbol{\rm Z} \mid x\lt [\langle0,0\rangle]\}\]に属する整数はである。

命題すべての整数は $\boldsymbol{\rm Z}^-$, $\{[\langle0,0\rangle]\}$, $\boldsymbol{\rm Z}^+$ のいずれか一つのみに属する。

(証明) 整数の大小関係は全順序であるから、いかなる整数 $x$ に対しても、$x\lt [\langle0,0\rangle]$, $x=[\langle0,0\rangle]$, $[\langle0,0\rangle]\lt x$ のいずれか一つのみが成立する。

定理任意の正の整数 $x$ に対して、0 でないある自然数 $a$ が存在して、$x=[\langle a,0\rangle]$。

また、任意の負の整数 $y$ に対して、0 でないある自然数 $b$ が存在して、$x=[\langle 0,b\rangle]$。

(証明) 正の整数 $x$ を $[\langle c,d\rangle]$ とすると $d\lt c$ であるので、ある自然数 $a$ が存在して、$c=d+a$。このとき $c+0=d+a$ となるので $[\langle c,d\rangle]=[\langle a,0\rangle]$。

負の整数 $y$ を $[\langle e,f\rangle]$ とすると $e\lt f$ であるので、ある自然数 $b$ が存在して、$f=e+b$。このとき $e+b=f+0$ となるので $[\langle e,f\rangle]=[\langle 0,b\rangle]$。

整数の演算と大小関係の性質

ここまでで定義した演算や大小関係が、整数のそれとして要求される性質を持っていることを示していく。

定理任意の整数 $[\langle a,b\rangle]$ に対して\[[\langle a,b\rangle]+[\langle 0,0\rangle]=[\langle 0,0\rangle]+[\langle a,b\rangle]=[\langle a,b\rangle]\]である。つまり $[\langle 0,0\rangle]$ は整数の加法の単位元である。

(証明) \begin{eqnarray}[\langle a,b\rangle]+[\langle 0,0\rangle] &=& [\langle a+0,b+0\rangle]\\&=&[\langle a,b\rangle],\\ [\langle 0,0\rangle]+[\langle a,b\rangle]&=&[\langle 0+a,0+b\rangle] \\&=& [\langle a,b\rangle].\end{eqnarray}

定理任意の整数 $[\langle a,b\rangle]$ に対して\[[\langle a,b\rangle]\cdot[\langle 1,0\rangle]=[\langle 1,0\rangle]\cdot[\langle a,b\rangle]=[\langle a,b\rangle]\]である。つまり $[\langle 1,0\rangle]$ は整数の乗法の単位元である。

(証明) \begin{eqnarray}[\langle a,b\rangle]\cdot[\langle 1,0\rangle] &=& [\langle a\cdot1+b\cdot 0,a\cdot0+b\cdot1\rangle]\\&=&[\langle a,b\rangle],\\ [\langle 1,0\rangle]\cdot[\langle a,b\rangle]&=&[\langle 1\cdot a+0\cdot b,1\cdot b+0\cdot a\rangle] \\&=& [\langle a,b\rangle].\end{eqnarray}

2つの演算について、それぞれの単位元が存在することが確認できた。ここでは証明を省略するが、群論の基本的な帰結として、各単位元は一つずつしか存在しないことがわかる。つまり、整数の加法の単位元は必ず$[\langle 0,0 \rangle]$ に等しく、整数の乗法の単位元は必ず$[\langle 1,0 \rangle]$ に等しい。

定理\[[\langle 0,0\rangle]\lt [\langle 1,0\rangle]\]

(証明) $0+0\leq 0+1$ であるから\[[\langle 0,0\rangle]\leq [\langle 1,0\rangle]\]であり $0+0\neq 0+1$ であるから\[[\langle 0,0\rangle]\neq [\langle 1,0\rangle].\]

定理整数の加法は結合的である。

(証明) \begin{eqnarray}&&([\langle a,b\rangle]+[\langle c,d\rangle])+[\langle e,f\rangle]\\ &=& [\langle a+c,b+d\rangle]+[\langle e,f\rangle]\\ &=& [\langle (a+c)+e,(b+d)+f\rangle]\\ &=& [\langle a+(c+e),b+(d+f)\rangle]\\ &=& [\langle a,b\rangle]+[\langle c+e,d+f\rangle]\\ &=&[\langle a,b\rangle]+([\langle c,d\rangle]+[\langle e,f\rangle])\end{eqnarray}

定理整数の加法は可換である。

(証明) \begin{eqnarray}&&[\langle a,b\rangle]+[\langle c,d\rangle]\\ &=& [\langle a+c,b+d\rangle]\\ &=& [\langle c+a,d+b\rangle]\\&=&[\langle c,d\rangle]+[\langle a,b\rangle]\end{eqnarray}

定理整数の乗法は結合的である。

(証明) \begin{eqnarray}&&([\langle a,b\rangle]\cdot[\langle c,d\rangle])\cdot[\langle e,f\rangle]\\ &=& [\langle ac+bd,ad+bc\rangle]\cdot[\langle e,f\rangle]\\ &=& [\langle (ac+bd)e+(ad+bc)f,\;\;(ac+bd)f+(ad+bc)e\rangle]\\ &=& [\langle a(ce+df)+b(cf+de),\;\;a(cf+de)+b(ce+df)\rangle]\\ &=& [\langle a,b\rangle]\cdot[\langle ce+df,cf+de\rangle]\\ &=&[\langle a,b\rangle]\cdot([\langle c,d\rangle]\cdot[\langle e,f\rangle])\end{eqnarray}

定理整数の乗法は可換である。

(証明) \begin{eqnarray}&&[\langle a,b\rangle]\cdot[\langle c,d\rangle]\\ &=& [\langle ac+bd,ad+bc\rangle]\\ &=& [\langle ca+db, cb+da\rangle]\\&=&[\langle c,d\rangle]\cdot[\langle a,b\rangle]\end{eqnarray}

定理整数の乗法は加法に分配する。

(証明) \begin{eqnarray}&&([\langle a,b\rangle]+[\langle c,d\rangle])\cdot[\langle e,f\rangle]\\ &=& [\langle a+c,b+d\rangle]\cdot[\langle e,f\rangle]\\ &=& [\langle (a+c)e+(b+d)f,(a+c)f+(b+d)e\rangle]\\ &=& [\langle (ae+bf)+(ce+df),(af+be)+(cf+de)\rangle]\\ &=& [\langle ae+bf,af+be\rangle]+[\langle ce+df,cf+de\rangle]\\ &=&[\langle a,b\rangle]\cdot[\langle e,f\rangle]+[\langle c,d\rangle]\cdot[\langle e,f\rangle]\end{eqnarray}

乗法が可換なので、上述の式より任意の整数 $x$, $y$, $z$ に対して\begin{eqnarray}x(y+z)&=&(y+z)x\\&=& yx+zx\\&=& xy+xz.\end{eqnarray}

定理任意の整数 $x$ に対して $x+y=y+x=[\langle 0,0\rangle]$ を満たす整数 (つまり $x$ の加法についての逆元) $y$ が存在する。

(証明) 加法の可換性より $x+y=[\langle 0,0\rangle]$ だけ示せばよい。$x=[\langle a,b\rangle]$ に対して $y=[\langle b,a\rangle]$ とすればよい。現に\begin{eqnarray}x+y&=&[\langle a,b\rangle]+[\langle b,a\rangle]\\&=& [\langle a+b,b+a\rangle]\end{eqnarray}であり、$(a+b)+0=(b+a)+0$ であるから\begin{eqnarray}&&[\langle a+b,b+a\rangle]\\&=& [\langle 0,0\rangle]\end{eqnarray}である。

加法が可逆であることが確認できた。ここでは証明はしないが、群論の基本的な帰結として、各元に対してその逆元は一つずつしか存在しないことがわかっている。つまり、$[\langle a,b\rangle]$ の加法についての逆元は必ず $[\langle b,a\rangle]$ に等しい。そして、この逆元の一意性から、整数 $x$ の加法についての逆元を特別に $-x$ と書き表すことにする。

また、ここまでで整数とその加法と乗法は『可換環』であるための十分条件を満たしている。したがって、ここでは証明はしないが環論の基本的な帰結として、任意の整数 $x$, $y$ に対して

  • $x\cdot [\langle 0,0\rangle] = [\langle 0,0\rangle]\cdot x = [\langle 0,0\rangle]$
  • $(-x)\cdot y = x\cdot(-y) = -(x\cdot y)$
  • $(-x)\cdot(-y)=x\cdot y$
等の結論が得られる。

定理任意の整数 $x\neq[\langle 0,0\rangle]$, $y$, $z$ に対して $xy=xz$ であれば $y=z$。

(証明) $x$ を正負で分類して考える。まず $x\in\boldsymbol{\rm Z}^+$ とし、$x=[\langle a,0\rangle]$, $a\neq 0$, $y=[\langle c,d\rangle]$, $z=[\langle e,f\rangle]$ とする。このとき $xy=xz$ より\[aacf=aade\]であり、自然数の乗法の単射性より $cf=de$ であるから $y=z$。

次に $x\in\boldsymbol{\rm Z}^-$ とし、$x=[\langle 0,b\rangle]$, $b\neq 0$, $y=[\langle c,d\rangle]$, $z=[\langle e,f\rangle]$ とする。このとき $xy=xz$ より\[bbde=bbcf\]であり、自然数の乗法の単射性より $de=cf$ であるから $y=z$。

整数の乗法は可逆ではないが、以上のようにそれより弱い単射性は持っている。したがって、整数は上で述べたように可換環であるが、とくに『整域』と呼ばれる可換環である。整域は特定の操作で拡張して体にすることができるが、整数をその方法で拡張して得られるものが有理数である。

定理任意の整数 $x$, $y$, $z$ に対して

  1. $x\leq y$ ならば $x+z\leq y+z$
  2. $[\langle 0, 0\rangle]\leq x$, $[\langle 0, 0\rangle]\leq y$ ならば $[\langle 0, 0\rangle]\leq xy$

(証明) まず 1 を示す。$x=[\langle a,b\rangle]$, $y=[\langle c,d\rangle]$, $z=[\langle e,f\rangle]$ とする。$x\leq y$ より $a+d\leq b+c$ である。自然数の加法は大小関係を保存するので、このとき\begin{eqnarray}(a+e)+(d+f) &=& (a+d)+(e+f)\\&\leq& (b+c)+(e+f)\\ &=& (b+f)+(c+e)\end{eqnarray}より $x+z\leq y+z$

2 を示す。$[\langle 0, 0\rangle]\leq x$, $[\langle 0, 0\rangle]\leq y$ より、ある自然数 $a$, $c$ が存在して $x=[\langle a,0\rangle]$, $y=[\langle c,0\rangle]$。このとき\[xy=[\langle ac, 0\rangle]\]であり、ここで $0+0\leq ac+0$ であるから $[\langle 0, 0\rangle]\leq xy$。

この定理から、整数とその加法と乗法と大小関係は『順序環』であるための十分条件を満たしている。したがって、ここでは証明はしないが、順序環についての初等的な結論として、絶対値写像\[|x|=\left\{\begin{array}{ll} x & \text{if $x\in\boldsymbol{\rm Z}^+$} \\ [\langle 0, 0\rangle] &  \text{if $x=[\langle 0, 0\rangle]$} \\ -x & \text{if $x\in\boldsymbol{\rm Z}^-$} \\\end{array}\right.\]を定義することができ、任意の整数 $x$, $y$, $z$, $w$ に対して

  • $x\leq y$, $z\leq w$ ならば $x+z\leq y+w$
  • $x\leq y$, $[\langle 0, 0\rangle]\leq z$ ならば $xz\leq yz$
  • $x\leq y$, $z\leq [\langle 0, 0\rangle]$ ならば $yz\leq xz$
  • $[\langle 0, 0\rangle]\leq x\leq y$, $[\langle 0, 0\rangle]\leq z\leq w$ ならば $xz\leq yw$
  • $|x||y|=|xy|$
  • $[\langle 0, 0\rangle]\leq x\cdot x$
等の結論を得ることができる。

整数の一部としての自然数

さて、整数を算数で学んでいればわかりきったことかもしれないが、$\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle 0, 0\rangle]\}$ に属するモノを自然数として扱うことができる。

以下、整数の簡易表記法と自然数の簡易表記法の衝突を扱うため、自然数の簡易表記を一時的にとりやめる。つまり、以前の記事で $\emptyset$ のことを 0 と書き、$\{\emptyset\}$ のことを 1 と書くと定めたが、これを取りやめて、いちいち集合論の言葉に忠実に $\emptyset$, $\{\emptyset\}$ と書くことにする。こうすることで、話に出てきているモノが $\omega$ に属するモノなのか、それとは異なる $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ に属するモノなのかが鮮明になるだろう。

さらに、$\omega$ に属するモノに与えた『自然数』の称号を剥奪し、0 や 1 という表記は、改めて自然数と呼ばれることになった「何か」に与えられる特別な表記とする。その何かは今まで通り $\omega$ に属するモノかもしれないし、$\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ に属するモノかもしれない。これによって、少しの間『自然数』は具体的なモノを表す言葉ではなく、単なる空位なる称号となる。これらのことを了解したのちに下を読み進めてほしい。

一部の整数を自然数として扱う具体的な方法として、写像 $i:\omega\to\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ を\[n \mapsto [\langle n, \emptyset\rangle]\]と定義して、整数 $i(n)$ をかつての自然数 $n$ と同一視する。整数の代表元に関する命題よりこの $i$ は全単射である。また、この写像について\begin{eqnarray}i(\emptyset)&=&[\langle \emptyset, \emptyset\rangle] \text{  (つまり $i($単位元$)=$単位元)} \\ i(a+b)&=&i(a)+i(b)\\ i(\{\emptyset\})&=&[\langle \{\emptyset\}, \emptyset\rangle]\text{  (つまり $i($単位元$)=$単位元)} \\ i(ab)&=&i(a)i(b)\end{eqnarray}\[ a\leq b \text{ ならば } i(a)\leq i(b)\]が成立するので、$i(\emptyset)$ を最初の自然数 0 として扱い、$i(\text{$n$ の次の数})$ を $i(n)$ の次の数として扱うとして作る整数の部分集合としての自然数集合と整数の演算と大小は、かつての自然数集合 $\omega$ が持つものと同様の代数構造を有することになり、ペアノの公理のモデルにもなる。

したがって、自然数についての議論をしたい場合、$\omega$ とその演算や大小を思い浮かべてもよいし、$\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle 0, 0\rangle]\}$ と整数の演算や大小を思い浮かべてもよい。いずれにしても、ペアノの公理のモデルとなる以上、ペアノの公理から証明できる定理は証明できる。このことから、$\omega$ に属するモノと $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ に属するモノのどちらに『自然数』の称号を与えてもよいといえる。

整数の表記方法

以上のことから、$\omega$ に属するモノを自然数と呼んでも、$\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle 0, 0\rangle]\}$ に属するモノを自然数と呼んでも差し支えない (ただし、双方を同時に自然数として扱うと数学的帰納法が機能しなくなる)。そこで $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ に属するモノを『自然数』と呼ぶときは $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ に属する整数\[i(n)=[\langle n, 0\rangle]\]のことを表すために、従来 $n$ に割り当てていた表現を使うことにする。たとえば $[\langle \{\emptyset\},\emptyset\rangle]$ のことは 1 と書く。そして、加法についての逆元の表記方法を準用して $i(n)$ の加法についての逆元\[-i(n)=[\langle 0, n\rangle]\]のことを、従来 $n$ に割り当てていた表現にマイナス記号をつけて使うことにする。たとえば $[\langle \{\emptyset\},\emptyset\rangle]$ の逆元 $[\langle \emptyset,\{\emptyset\}\rangle]$ のことを -1 と書く。

この記法で問題となるのは、$\omega$ を自然数と呼ぶときの表記法との衝突である。例えば $\omega$ に属するモノに自然数として\[0=\emptyset\]という表記を割り当てたが、上で作った表記法では\[0=[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\]となる。このように異なるモノに同じ記号を割り当てているため、二つの記法を同時に採用することはできない。しかし、どちらか一方のみを採用すれば問題ない。「$\omega$ に属するモノの方に『自然数』の称号を与える」と決めたらこの記事で行ってきた証明のように $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle 0, 0\rangle]\}$ に属するモノを順序対の同値類として書くことを徹底すればよいし、「$\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ に属するモノの方に『自然数』の称号を与える」と決めたら $\omega$ に属するモノを $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ のように空集合と外延的記法のみで書くことを徹底すればよい。多くの集合論に忠実でない文章ではどちらを自然数と呼ぶかが明記されないが、その場合はつじつまが合う方を採用すればよいし、どちらも必要になる場合は上述の写像 $i$ が暗黙的に使われていると考えればよい。

以下、それぞれの記法を採用したときの各集合の表し方をまとめておく。

集合論に忠実な表記 $\omega$ を自然数集合としたとき $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ を自然数集合としたとき
$\emptyset$ 0 $\emptyset$
$\{\emptyset\}$ 1 $\{\emptyset\}$
$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ 2 $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$
$[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]$ $[\langle 0, 0\rangle]$ 0
$[\langle \{\emptyset\}, \emptyset\rangle]$ $[\langle 1, 0\rangle]$ 1
$[\langle \{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \emptyset\rangle]$ $[\langle 2, 0\rangle]$ 2
$[\langle \emptyset, \{\emptyset\}\rangle]$ $[\langle 0, 1\rangle]$ -1
$[\langle \emptyset, \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\rangle]$ $[\langle 0,2\rangle]$ -2
$\omega$ $\omega$ $\omega$
$\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle \emptyset, \emptyset\rangle]\}$ $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{[\langle 0, 0\rangle]\}$ $\boldsymbol{\rm Z}^+ \cup \{0\}$