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集合論の言葉による自然数の表現

ここまでで集合論のいくつかの公理 (ルール) を持ち出すことで、すでにモノが存在するなら、そこから外延的記法を使って記述できるいくつものモノもまた存在することが示された。今回はこれを利用して、自然数を定義する。このシリーズでは「すべてのモノは集合である」ような論理を扱っているので、当然ながらこれから定義する自然数もすべて集合である。

外延的記法 (対の公理と和集合の公理)

ここまでで、集合論の言葉ではすべてのモノが集合であること、集合同士に $\in$ で表される関係があったりなかったりすること、モノ (集合) 同士はどういうときに『等しい・同じ』と見なすのかを説明してきた。この記事では具体的に有限集合を作り表記する方法である外延的記法について、その使い方と使える根拠を述べる。

同じ・等しいとは何か (外延性の公理)

前回は集合論の記号 $\in$ は2つのモノ (集合) の関係を表す記号であると説明した。今回以降では集合に関するルール (公理) を導入していくことで、2つの集合はどういうときにこの関係にあって、どういうときにこの関係に無いのかを明らかにしていく。この記事ではまず集合同士が等しいことと結びつけて考える。

集合論を基礎としたオーダー記法

シリーズ本編ではランダウの記法について集合論に基づかない定義をしていた。しかし、その定義の中で集合論の記号 $\in$ を用いておりあたかも $O(g)$ や $\Theta(g)$ が集合であるかのように扱っていた。この記事では、本当に $O(g)$ と $\Theta(g)$ を集合として定義し、いままで定義としていた同値式を集合論的に意味を持つようにする。

Θ-記法の同値性

前回は $O$-記法が実数関数同士の「ある意味での大小関係」として捉えられることを説明した。今回は $\Theta$-記法が実数関数同士の同値関係であること、つまり $\Theta$-記法が実数関数同士の「ある意味で等しい」ことを表す関係としてとらえられることを示す。そのことにより、シリーズ最初の記事で与えた「$f$ のオーダーと $g$ のオーダーは同程度である」という表現が実態に合っていることを確かめる。