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シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編)

集合論の言葉による実数の構成

前回は集合論の言葉で有理数を構成した。今回はそれを利用して実数を構成する。まず、デデキント切断という手法で実数とその演算と大小を定義する。その後、それらが『実数』と呼ばれる数が持っていてほしい性質をひととおり持っていることを確かめる。

集合論の言葉による整数の構成

ここまでで、自然数や集合論に関する諸々の概念を述べ、それらを集合として定義し、その存在を証明してきた。今回以降はこれらを使って、整数・有理数・実数を集合として定義し、集合論の言葉で使う準備を整える。

集合論の言葉による二項演算の表現

前々回は写像を集合論の言葉で定義し、使えるようにした。二項演算はこの写像として定義できるので、今回は二項演算を定義する。これによって、以前定義した自然数に足し算などの演算を与えることができる。

内包的記法と共通部分

前回まででは、各自然数や自然数集合 $\omega$ を集合として定義したうえで、冪集合公理を導入することで多様な集合の存在を示すことができるようになった。今回は部分集合の存在を示す公理を導入することで、より多くの集合の存在を示せるようにする。