React と Typescript の練習として、月の満ち欠けを表示するカレンダーを作りました。Javascriptファイルを読み取るだけで簡単に設置できます。

包除原理 (inclusion-exclusion principle) は、集合の要素数・確率・面積などにおいて成立するべきとされる原理であり、現代の整備された集合論・確率論・測度論において証明することができる。Bonferroni inequalities は包除原理によく似た不等式であり、これも証明することができる。この記事では主に確率論に重きを置いて、この2つを証明する。

Turán's theorem はグラフに関する定理であり、Turán number $T(n,r+1,2)$ と $\text{ex}(n,K_{r+1})$ の値を与える。

文献によって Turán number の定義が異なるようだったので、それを大きく2つにわけ、その関係を述べる。

この記事では、集合論の言葉を使って「個数」とは何か、「個数を数える (数え上げ)」とは何かを定義していく。そして、その定義を利用して高校数学で扱う「順列」や「組合せ」の個数を数える。

体 (たい) とは端的には四則演算を伴った代数構造のことであり、順序体とはその四則演算に両立する大小関係を伴った体のことである。身近なものだと実数体や有理数体があてはまるが、それ以外にも順序体は存在する。この記事では、順序体に共通する初等的な性質を証明していく。

ここでは準備編の最終回および実践編の初回として、集合論の言葉 (ZFC集合論) でできることについておさらいする。とくに、準備編でどのようなモノ (集合) の存在が示されたかについて述べていく。

前回は集合論の言葉で有理数を構成した。今回はそれを利用して実数を構成する。まず、デデキント切断という手法で実数とその演算と大小を定義する。その後、それらが『実数』と呼ばれる数が持っていてほしい性質をひととおり持っていることを確かめる。

前回は集合論の言葉で整数を構成した。今回はそれを利用して有理数を構成する。集合として有理数を構成することで、有理数も集合論の言葉で利用できるようになる。