自然数の加法 (ペアノ算術)

この記事では、ペアノの公理を満たす『自然数』の加法を定義し、その性質を論じる。

(いずれ自然数の記事シリーズを作ってそこに編入したいと考えている)

自然数とは

この記事では、自然数について以下の特徴があることを認める (つまりペアノの公理を採用する)。

  • 0は自然数である。
  • いかなる自然数についても、その『次の数』が1つだけ存在する。$n$ の次の数を $S(n)$ と表す。
  • 異なる2つの自然数が同じ次の数を持つことはない。
  • 0が次の数となるような自然数は存在しない(感覚的には 0 は最初の自然数とでも言えるだろう)。
  • 0が属するある集合について【$n$ がどんな自然数であっても、$n$ が属するなら自然数 $S(n)$ も属する】が成立するなら、その集合にはすべての自然数が属する。

最後の性質は数学的帰納法を利用できると読み替えてもよい。

自然数の加法の定義

自然数の加法を次のように定義する。

定義自然数上の二項演算 $+$ を、自然数 $a$, $b$ に対して\[\begin{array}{lcl}a + 0&=&a \\ a + S(b)&=&S(a+b)\end{array}\]と定める。この二項演算を自然数の加法とよぶ。

加法の性質

まず加法において特別な振る舞いをする自然数 $0$ の性質を示す。

定理任意の自然数 $a$ に対して\[a+0=0+a=a\]

(証明) 定理のうち $a+0 = a$ については加法の定義より成立する。

残りの $0+a = a$ を $a$ についての数学的帰納法で示すことにする。まず加法の定義より $0+0 = 0$ である。

次に固定した $a$ について成立すると仮定して $S(a)$ についても成立することを示す。\begin{eqnarray} 0+S(a) &=& S(0+a) \\ &=& S(a) \end{eqnarray}である。

自然数の加法は結合律と交換律を満たすが、交換律の証明に使用する補題を先に1つ示す。

補題任意の自然数 $a$, $b$ に対して\[S(a)+b = S(a+b) = a+S(b).\]

(証明) 定理のうち $S(a+b) = a+S(b)$ については加法の定義より成立する。

残りの $S(a)+b = S(a+b)$ を $b$ についての数学的帰納法で示すことにする。まず0は加法の単位元であるので $S(a)+0 = S(a) = S(a+0)$ である。

次に固定した $b$ について成立すると仮定して $S(b)$ についても成立することを示す。\begin{eqnarray} S(a)+S(b) &=& S(S(a)+b) \\ &=& S(S(a+b)) \\ &=& S(a+S(b)) \end{eqnarray}である。

自然数の加法の結合律と交換律を示す。

定理任意の自然数 $a$, $b$, $c$ に対して\[(a + b)+ c = a +(b + c).\]

(証明) $c$ についての数学的帰納法で示す。まず 0 は加法の単位元であるから\begin{eqnarray}(a + b)+ 0 &=& a + b \\ &=& a +(b+0) \end{eqnarray}である。

次に、固定した $c$ について成立すると仮定して $S(c)$ についても成立することを示す。\begin{eqnarray}(a + b)+ S(c) &=& S((a+b)+c) \\ &=& S(a+(b+c)) \\ &=& a+S(b+c) \\ &=& a+(b+S(c)) \end{eqnarray}

定理任意の自然数 $a$, $b$ に対して\[a+b=b+a\]

(証明) $b$ についての数学的帰納法で示す。まず 0 は加法の単位元であるから\begin{eqnarray}a+0 &=& 0\\&=&0+a\end{eqnarray}である。

次に、固定した $b$ について成立すると仮定して $S(b)$ についても成立することを示す。先に示した補題より \begin{eqnarray}a + S(b) &=& S(a+b) \\ &=& S(b+a) \\ &=& S(b)+a \end{eqnarray}である。

加法を用いて定義される演算と関係

自然数の加法を定義したことでいくつかの数学的対象が定義できるようになった。それらについて、とりあえず定義だけ挙げていく。それらの性質についての議論は個々の記事で (おそらくいずれ) 行う。

まず大小関係が簡単に定義できる(加法がなくとも $S$ だけで再帰的に定義することはできる)。加法を使用して、自然数 $a$, $b$ について $a+x=b$ を満たす自然数 $x$ が存在することを $a \le b$ と定義すれば、この $\le$ は二項関係となり、これが全順序関係であることは定義から証明できる。

また、加法の逆演算である減法も定義することができる。$a\le b$ である場合、つまり $a+x=b$ を満たす自然数 $x$ が存在する場合、$b-a=x$ と定めることで演算 $-$ を定める。これにより減算が定義される($a \le b$ を満たさない場合の $b-a$ は定義されていないことに注意)。

さらに、加法を使用して乗法を定義することができる

数学  2020/03/13  k.izumi