この記事では、集合論の言葉を使って「個数」とは何か、「個数を数える (数え上げ)」とは何かを定義していく。そして、その定義を利用して高校数学で扱う「順列」や「組合せ」の個数を数える。

以前の記事で二項関係を定義したが、その中でも特別な性質を満たすものを全順序関係とよぶ。自然数の大小関係もこの全順序関係となるので、自然数の大小関係を例として全順序関係について述べる。

前々回は写像を集合論の言葉で定義し、使えるようにした。二項演算はこの写像として定義できるので、今回は二項演算を定義する。これによって、以前定義した自然数に足し算などの演算を与えることができる。

この記事では、ペアノの公理を満たす『自然数』の乗法を定義し、その性質を論じる。ただし、加法はすでに定義できているものとして扱い、その加法は結合的で可換であることもすでに示されているものとする。

（いずれ自然数の記事シリーズを作ってそこに編入したいと考えている）

ここまでで集合論のいくつかの公理 (ルール) を持ち出すことで、すでにモノが存在するなら、そこから外延的記法を使って記述できるいくつものモノもまた存在することが示された。今回はこれを利用して、自然数を定義する。このシリーズでは「すべてのモノは集合である」ような論理を扱っているので、当然ながらこれから定義する自然数もすべて集合である。