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2018年05月

自然数の乗法 (ペアノ算術)

この記事では、ペアノの公理を満たす『自然数』の乗法を定義し、その性質を論じる。ただし、加法はすでに定義できているものとして扱い、その加法は結合的で可換であることもすでに示されているものとする。

(いずれ自然数の記事シリーズを作ってそこに編入したいと考えている)

数学   2018/05/14   k.izumi

内包的記法と共通部分

前回まででは、各自然数や自然数集合 $\omega$ を集合として定義したうえで、冪集合公理を導入することで多様な集合の存在を示すことができるようになった。今回は部分集合の存在を示す公理を導入することで、より多くの集合の存在を示せるようにする。

集合論の言葉による自然数の表現

ここまでで集合論のいくつかの公理 (ルール) を持ち出すことで、すでにモノが存在するなら、そこから外延的記法を使って記述できるいくつものモノもまた存在することが示された。今回はこれを利用して、自然数を定義する。このシリーズでは「すべてのモノは集合である」ような論理を扱っているので、当然ながらこれから定義する自然数もすべて集合である。

外延的記法 (対の公理と和集合の公理)

ここまでで、集合論の言葉ではすべてのモノが集合であること、集合同士に $\in$ で表される関係があったりなかったりすること、モノ (集合) 同士はどういうときに『等しい・同じ』と見なすのかを説明してきた。この記事では具体的に有限集合を作り表記する方法である外延的記法について、その使い方と使える根拠を述べる。

同じ・等しいとは何か (外延性の公理)

前回は集合論の記号 $\in$ は2つのモノ (集合) の関係を表す記号であると説明した。今回以降では集合に関するルール (公理) を導入していくことで、2つの集合はどういうときにこの関係にあって、どういうときにこの関係に無いのかを明らかにしていく。この記事ではまず集合同士が等しいことと結びつけて考える。