包除原理 (inclusion-exclusion principle) は、集合の要素数・確率・面積などにおいて成立するべきとされる原理であり、現代の整備された集合論・確率論・測度論において証明することができる。Bonferroni inequalities は包除原理によく似た不等式であり、これも証明することができる。この記事では主に確率論に重きを置いて、この2つを証明する。

Turán's theorem はグラフに関する定理であり、Turán number $T(n,r+1,2)$ と $\text{ex}(n,K_{r+1})$ の値を与える。

文献によって Turán number の定義が異なるようだったので、それを大きく2つにわけ、その関係を述べる。

この記事では、集合論の言葉を使って「個数」とは何か、「個数を数える (数え上げ)」とは何かを定義していく。そして、その定義を利用して高校数学で扱う「順列」や「組合せ」の個数を数える。

体 (たい) とは端的には四則演算を伴った代数構造のことであり、順序体とはその四則演算に両立する大小関係を伴った体のことである。身近なものだと実数体や有理数体があてはまるが、それ以外にも順序体は存在する。この記事では、順序体に共通する初等的な性質を証明していく。