前回までで自然数を用意し、外延的記法や内包的記法で基本的な集合を記述する準備が整った。ここからは、様々な集合を特別な数学的対象として扱うことを考える。そこで、まずは順序対を集合として定義する。

前回まででは、各自然数や自然数集合 $\omega$ を集合として定義したうえで、冪集合公理を導入することで多様な集合の存在を示すことができるようになった。今回は部分集合の存在を示す公理を導入することで、より多くの集合の存在を示せるようにする。